La noción de número es una de las más fundamentales en matemáticas. Su origen se remonta a la antigüedad y a través de los siglos ha pasado por un largo proceso de extensión y de generalización. de los numeros reales......
NUMEROS COMPLEJOS
¿Puedes hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes!
Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que significa "3 de 8 partes iguales".
Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario).
EJEMPLOS
Cero; Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.
Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.
| Número complejo | Parte real | Parte imaginaria |
|---|---|---|
| 3 + 2i | 3 | 2 |
| 5 | 5 | 0 |
| -6i | 0 | -6 |
Sumar y multiplicar
Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)
Pero para multiplicarlos seguimos una regla más interesante:
(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)
Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i
Puedes intentarlo tú mismo: escribe (3 + 2i)(1 + 7i) en la calculadora de números complejos.
Y una cosa interesante es que el cuadrado de "i" sí que es -1
Ejemplo: (0 + i)(0 + i) = ((0×0 - 1×1) + (0×1 + 1×0)i) = -1 + 0i
¡Los números imaginarios existen!
Este es un buen argumento sobre la existencia de números imaginarios:
Cuando elevas el número complejo 0+i al cuadrado tienes -1
Así que puedes elevar un número al cuadrado y tener -1 ... si usas las reglas de los números complejos.
NUMEROS REALES
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.
Ejemplos de números irracionales son:
Intervalos
Ciertos subconjuntos del conjunto de los números reales, llamados intervalos, se encuentra frecuente mente, por lo que tenemos una notación compacta para presentarlos.
Notación de intervalo; La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos.
| Intervalo | Descripción | Dibujo | Ejemplo | |||||||
| Cerrado | [a, b] | Conjunto de números x tales que a ≤ x ≤ b |  (incluye puntos extremos) | [0, 10] | ||||||
| Abierto | (a, b) | Conjunto de números x tales que a < x < b |  (excluye puntos extremos) | (-1, 5) | ||||||
| Semiabierto | (a, b] | Conjunto de números x tales que a < x ≤ b |  | (-3, 1] | ||||||
| [a, b) | Conjunto de números x tales que a ≤ x < b |  | [-4, -1) | |||||||
| Infinito | [a, +∞) | Conjunto de números x tales que a ≤ x |  | [0, +∞) | ||||||
| (a, +∞) | Conjunto de números x tales que a < x |  | (-3, +∞) | |||||||
| (-∞, b] | Conjunto de números x tales que x ≤ b |  | (-∞, 0] | |||||||
| (-∞, b) | Conjunto de números x tales que x < b |  | (-∞, 8) | |||||||
| (-∞, +∞) | Conjunto de todos números reales |  | (-∞, +∞) |
Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos. Intervalos abiertos no tienen puntos extremos, y cada intervalo semiabierto tiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo.
Operaciones
Las cinco operaciones más común del conjunto de números reales son:
|
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|
"Exponenciación" quiere decir elevar un número a un potencia; por ejemplo, 23 = 2.2.2 = 8. Cuando escribimos una expresión conteniendo dos o más que dos de las expresiones, por ejemplo;
| 2(3 - 5) + (4 . 5), | o |  4 - (-1) | , |
estamos de acuerdo en usar las siguientes reglas para decidir el orden en que hacemos los operaciones.
La siguiente tabla resume las propiedades de los números reales:
| Elemento identidad | Suma: a + 0 = 0 + a = a | Producto: a . 1 = 1 . a = a |
| Elemento inverso | Suma: a + (–a) = –a + a = 0 | Producto: a (1/a) = (1/a)a = 1, a¹0 |
| Ley Asociativa | Suma: a + (b + c) = (a + b) + c | Producto: a . (b . c) = (a . b) . c |
| Ley Conmutativa | Suma: a + b = b + a | Producto: a . b = b . a |
| Ley Distributiva | Producto sobre la suma: a (b + c) = (b + c) a = ab + ac | |
EJEMPLOS:
Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo.
A) –3 + 3 = 0. Respuesta: elemento inverso para la suma.
B) (x + y) × z = xz + yz. Respuesta: ley distributiva.
C) (–3)(6) = (6)(–3). Respuesta: ley conmutativa para el producto.
Definición
 |
| Un número que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo. |
ejemplo: Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo:
¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero.
Eso es porque estamos calculando el cuadrado de números reales.
 | Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto: i × i = -1 ¿Sería útil, qué podríamos hacer con él? |
Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1:
 |
Y eso es muy útil... simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.
Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?
Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i
Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i
Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.
 | Unidad imaginariaLa "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno).En matemáticas se usa i (de imaginario) pero en electrónica se usa j (porque "i" ya es la corriente, y la letra siguiente después de la i es la j). |
Ejemplos de números imaginarios
| i | 12.38i | -i | 3i/4 | 0.01i | -i/2 |
Los números imaginarios no son "imaginarios"
De hecho hubo un tiempo en que se pensó que los números imaginarios eran imposibles, y por eso se llamaban "imaginarios" (a modo de broma).
Pero después hubo gente que investigó más y descubrió que son útiles e importantes porque rellenan un hueco en matemáticas... pero el nombre de "imaginario" se mantuvo.
* Ecuación cuadrática*
 | Una ecuación cuadrática puede dar resultados con números imaginarios... |
| ... pero quizás después de más cálculos el número "i" se cancela (o se convierte en real porque está al cuadrado), dando una respuesta que es real. | |
Propiedad interesante
La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad interesante.
"Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas:
"Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas:
So, i × i = -1, ... después -1 × i = -i, ... después -i × i = 1, ... después 1 × i = i (¡de vuelta i!)
Conclusión
| La unidad imaginaria, i, es igual a la raíz cuadrada de menos 1 Los números imaginarios no son "imaginarios", son de verdad y son útiles, ¡y puedes tener que usarlos algún día! |
NÚMEROS RACIONALES
Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por 
.
.
Un número irracional es aquél que no es un número entero y no puede expresarse como división exacta de dos números enteros. Por ejemplo los números 3, 1890 ó 2'5 = 5 / 2 no son números irracionales. Un número irracional es un número con infinitos decimales que en ningún caso se repiten de forma periódica. El número 1'33333... con infinitos decimales iguales a 3 tampoco es un número irracional ya que realmente es el resultado de dividir 4 entre 3 y los decimales se repiten periódicamente.
Entre los número irracionales tenemos como ejemplo algunas raíces cuadradas muy simples como Raíz cuadrada de 2 = 1,41421356237... que tiene infinitos decimales de manera que no existe ninguna secuencia de ellos que se repitan. También es irracional Raíz cuadrada de 5 = 2,236067977...
Aunque la raíz cuadrada de 2 sea difícil de escribir ya que tiene infinitos decimales, es en cambio muy fácil de representar geométricamente a partir de un cuadrado de lado uno. La diagonal de dicho cuadrado tiene como longitud la raíz cuadrada de 2. Este resultado es consecuencia del teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo rectángulo con dos catetos iguales de lado uno.
Números enteros (Z)
Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que presentarían cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.
Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.
En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.
En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).
Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)
Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).
Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):
Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.
Ejemplos : (– 3) + ( – 8) = – 11 ( sumo y conservo el signo)
12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)
b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo).
Ejemplo: – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener + 12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5
¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).
¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).
5 + (– 51) = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
– 14 + 34 = 20
Resta en Z
Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:
a) Cambiar el signo de la resta en suma y
b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario.
Ej: –3 ( – 10) = ( –3 ) + ( – 10) = –13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)
19 – (– 16) = 19 + + 16 = 19 + 16 = 35
Multiplicación y División en Z
La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:
+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –
Ejemplos: – 5 • – 10 = 50 ( 5 • 10 = 50 ; – • – = + )
12 • – 4 = – 48 ( 12 • 4 = 48;: + • – = – )
Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones).
Números Fraccionarios
¿Que son los Números Fraccionarios?
Los Números Fraccionarios , son el cociente indicado a/b de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.
Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”.
Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero:
14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32
Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa
a/b = a'/b'
si a · b′ = b · a′.
si a · b′ = b · a′.
Así,
21/28= 9/12 porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.
Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:
a/b=a.d'/b.d'=a'/b'
Por ejemplo:
120/90= 12/9
La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10
Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí.
La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:
12/= 4/3
Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador.
Por ejemplo, para reducir al común denominador las fracciones
2/3, 4/9 y 3/5
se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90
Es decir,
es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.
es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.
Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene
30/45, 20/45, 27/445
que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.
Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:
2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45
2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:
a/b * c/d = a*c/b*d
La inversa de una fracción a/b es otra fracción,b/a , que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1:
a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:
a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p
a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p
Números Naturales
¿Que son los Números Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
Los números enteros no negativos
La necesidad de realizar cuentas es lo que crea este conjunto. Se denota por:
Para su representación geométrica, utilizamos la recta numérica.
Sus operaciones básicas son:
Suma de enteros no negativos
Para dos números enteros no negativos existe un único número no negativo llamado su suma.
Geométricamente, por convencionalismo se representa como desplazamientos hacia la derecha en una recta numérica.
Para x+y:
Las siguientes son propiedades de las sumas de enteros no negativos:
Ley conmutativa de la suma.
Para dos números cualesquiera x, y pertenecientes al conjunto de los enteros no negativos,
x + y = y + x
Para dos números cualesquiera x, y pertenecientes al conjunto de los enteros no negativos,
Ejemplo.
Ley asociativa de la suma.
Para tres números cualesquiera x, y, z pertenecientes al conjunto de los enteros no negativos,
x + (y + z) = (x + y) + z
Para tres números cualesquiera x, y, z pertenecientes al conjunto de los enteros no negativos,
Ejemplo.
1 + (8 + 9) = (1 + 8) + 9
Elemento identidad de la suma.
Existe un número único 0, llamado elemento identidad aditivo, tal que para cualquier x que pertenece al conjunto de los números enteros no negativos,
x + 0 = 0 + x = x
Existe un número único 0, llamado elemento identidad aditivo, tal que para cualquier x que pertenece al conjunto de los números enteros no negativos,
Ejemplo.
Multiplicación de enteros no negativos.
El producto de dos enteros no negativos x, y representa al entero no negativo igual a la suma de x términos iguales a y o viceversa. x e y son llamados factores.
Multiplicación por cero
Para cualquier x que pertenece al conjunto de los enteros no negativos,
(x)(0)= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ··· + 0
x veces 0 Por lo tanto (x)(0)=0
Para cualquier x que pertenece al conjunto de los enteros no negativos,
x veces 0
Ejemplo.
Las siguientes son propiedades de la multiplicación de los números enteros no negativos:
Ley conmutativa de la multiplicación.
Para dos números cualesquiera x, y que pertenecen al conjunto de los enteros no negativos,
xy = yx
Para dos números cualesquiera x, y que pertenecen al conjunto de los enteros no negativos,
xy = yx
Ejemplo.
Ley asociativa de la multiplicación.
Para tres números cualesquiera x, y, z que pertenecen al conjunto de los enteros no negativos,
x(yz) = (yx)z
Para tres números cualesquiera x, y, z que pertenecen al conjunto de los enteros no negativos,
Ejemplo.
Elemento identidad para la multiplicación.
Existe un número único 1, denominado idéntico multiplicativo, tal que para cualquier x que pertenece al conjunto de los enteros no negativos,
a(1) = 1(a) = a
Existe un número único 1, denominado idéntico multiplicativo, tal que para cualquier x que pertenece al conjunto de los enteros no negativos,
Ejemplo.
Ley distributiva de la multiplicación sobre la suma.
Para tres números cualesquiera x, y, z que pertenecen al conjunto de los enteros no negativos,
(x + y)z = z(x + y) = zx + zy
Para tres números cualesquiera x, y, z que pertenecen al conjunto de los enteros no negativos,
Ejemplo.
Sustracción de enteros no negativos.
Esta operación se representa por el símbolo "-"; x - y, donde x es llamado minuendo y y es llamado sustraendo.
Su representación geométrica es, un desplazamiento a la derecha para el minuendo y uno a la izquierda para el sustraendo, en una recta numérica.
De ahí la necesidad del conjunto de los números enteros, constituido por la unión del conjunto de los números enteros negativos y los números enteros no negativos.
Números primos y compuestos | |||||
| Los números primos son aquellos que tienen la propiedad de poseer únicamente dos divisores: el mismo número y el 1, que es divisor de todo número. |
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 | Cuando un número primo se divide por sí mismo, el resultado es 1. Y cuando un número primo se divide por 1, el resultado es el mismo número primo. | ||||
El 2, 3, 5, 7, 11 solo son divisibles por sí mismos y por 1. El 3 es primo porque al igual que al 2 solo lo divide el propio número y la unidad. |
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| Los números compuestos son aquellos que tienen más de dos divisores. El número 1 no es primo porque no tiene dos divisores (sólo él mismo) y tampoco es compuesto. Para encontrar una lista de los números primos se puede utilizar el método de la CRIBA DE ERATÓSTENES. Siguiendo los pasos que a continuación se presentan: El procedimiento consiste en tachar todos los números compuestos, es decir, los que no sean primos. El 1 no lo tachamos por no ser ni primo ni compuesto. El 2 posee solo dos divisores, por lo tanto es primo; entonces no lo tachamos. Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que la serie  es divergente. Uno de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo quedonde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valores de C y n0 no están especificados. Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:
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